परिमेय संख्याओं के गुणधर्म

परिमेय संख्याओं के गुणधर्म हमें उन्हें अन्य प्रकार की संख्याओं से अलग करने में सहायता करते हैं। परिमेय संख्याओं में पूर्णांक, पूर्ण संख्याएँ और प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं। इन्हें भिन्न p/q के रूप में, शांत दशमलव संख्याओं के रूप में, या अशांत लेकिन आवर्ती दशमलव संख्याओं के रूप में निरूपित किया जा सकता है। परिमेय संख्याओं के गुणधर्मों में साहचर्य गुणधर्म, क्रमविनिमय गुणधर्म, वितरण गुणधर्म और संवरक गुणधर्म शामिल हैं। आइए इस पृष्ठ पर परिमेय संख्याओं के सभी गुणधर्मों के बारे में पढ़ें।

जब संख्याओं को p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो उन्हें परिमेय संख्याएँ माना जाता है , यहाँ p और q दोनों पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है। परिमेय संख्याओं के छह गुणधर्म हैं, जो नीचे दिए गए हैं:

• बंद संपत्ति
• क्रमचयी गुणधर्म
• साहचर्य गुण
• वितरणात्मक गुण
• गुणात्मक गुण
• योगात्मक गुण

आइए गणित में चार अंकगणितीय संक्रियाओं ( जोड़ , घटाव , गुणा और भाग ) पर इन गुणों का अन्वेषण करें।

परिमेय संख्याओं का संवरक गुणधर्म यह बताता है कि जब किन्हीं दो परिमेय संख्याओं को जोड़ा, घटाया या गुणा किया जाता है, तो तीनों ही स्थितियों में परिणाम एक परिमेय संख्या ही होता है। आइए, हम बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाओं पर परिमेय संख्याओं के संवरक गुणधर्म के कार्य करने के तरीके को समझते हैं। हम विभिन्न उदाहरणों की सहायता से प्रत्येक संक्रिया पर इस गुणधर्म को समझेंगे।

आइए दो परिमेय संख्याएँ 1/3 और 1/4 लें और उन पर बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाएँ करें।

• जोड़ के लिए : 1/3 + 1/4 = (4 + 3)/12 = 7/12। यहाँ, परिणाम 7/12 है, जो एक परिमेय संख्या है। हम कहते हैं कि परिमेय संख्याएँ योग के अंतर्गत संवरित होती हैं। अर्थात्, किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं a और b के लिए, (a + b) भी एक परिमेय संख्या होती है।
• घटाव के लिए : 1/3 - 1/4 = (4 - 3)/12 = 1/12। यहाँ, परिणाम 1/12 है, जो एक परिमेय संख्या है। हम कहते हैं कि परिमेय संख्याएँ घटाव के अंतर्गत संवरित होती हैं। अर्थात्, किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं a और b के लिए, (a - b) भी एक परिमेय संख्या होती है।
• गुणन के लिए : 1/3 × 1/4 = 1/12। यहाँ, परिणाम 1/12 है, जो एक परिमेय संख्या है। हम कहते हैं कि परिमेय संख्याएँ गुणन के अंतर्गत संवरित होती हैं। अर्थात्, किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं a और b के लिए, (a × b) भी एक परिमेय संख्या होती है।
• भागफल : 1/3 ÷ 1/4 = 4/3। यहाँ परिणाम 4/3 है, जो एक परिमेय संख्या है। लेकिन हम पाते हैं कि किसी भी परिमेय संख्या a के लिए, a ÷ 0 अपरिभाषित है। अतः परिमेय संख्याएँ भागफल के अंतर्गत संवरित नहीं होतीं। हालाँकि, यदि हम शून्य को छोड़ दें, तो अन्य सभी परिमेय संख्याएँ भागफल के अंतर्गत संवरित हो जाती हैं।

परिमेय संख्याओं का क्रमविनिमय गुण यह बताता है कि किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ने या गुणा करने पर परिणाम नहीं बदलता। परन्तु घटाव और भाग के मामले में, यदि संख्याओं का क्रम बदल दिया जाए तो परिणाम भी बदल जाता है। हम विभिन्न उदाहरणों की सहायता से प्रत्येक संक्रिया पर इस गुण को समझेंगे।

आइए एक बार फिर दो परिमेय संख्याएँ 1/3 और 1/4 लें और उन पर बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाएँ करें।

• जोड़ के लिए : 1/3 + 1/4 = 1/4 + 1/3 = 7/12। हम कहते हैं कि परिमेय संख्याओं के लिए जोड़ क्रमविनिमेय होता है। अर्थात्, किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं a और b के लिए, a + b = b + a।
• घटाव के लिए : 1/3 - 1/4 ≠ 1/4 - 1/3 = 1/12 ≠ -1/12। हम देख सकते हैं कि परिमेय संख्याओं के लिए घटाव क्रमविनिमेय नहीं है। अर्थात्, किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं a और b के लिए, a - b ≠ b - a।
• गुणन के लिए : 1/3 × 1/4 = 1/4 × 1/3 = 1/12। हम देख सकते हैं कि परिमेय संख्याओं के लिए गुणन क्रमविनिमेय होता है। इसका अर्थ है कि किसी भी दो परिमेय संख्याओं a और b के लिए a × b = b × a होता है।
• भागफल के लिए : 1/3 ÷ 1/4 ≠ 1/4 ÷ 1/3 क्योंकि 4/3 ≠ 3/4। हम देख सकते हैं कि दोनों पक्षों के व्यंजक बराबर नहीं हैं। इसका अर्थ है कि किसी भी दो परिमेय संख्याओं a और b के लिए a ÷ b ≠ b ÷ a। अतः परिमेय संख्याओं के लिए भागफल क्रमविनिमेय नहीं है।

परिमेय संख्याओं का साहचर्य गुण यह बताता है कि जब किन्हीं तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ा या गुणा किया जाता है, तो परिणाम वही रहता है, चाहे संख्याओं को किसी भी क्रम में रखा जाए। हालांकि, घटाव और भाग के मामले में, यदि संख्याओं का क्रम बदल दिया जाए, तो परिणाम भी बदल जाएगा। हम विभिन्न उदाहरणों की सहायता से प्रत्येक संक्रिया पर इस गुण को समझेंगे।

• जोड़ के लिए : किन्हीं भी तीन परिमेय संख्याओं के लिए, साहचर्य नियम के अनुसार जोड़ का नियम A, B और C होता है, यानी (A + B) + C = A + (B + C)। उदाहरण के लिए, (1/3 + 1/4) + 1/2 = 1/4 + (1/3 + 1/2) = 13/12। हम कहते हैं कि परिमेय संख्याओं के लिए जोड़ साहचर्य नियम के अनुसार होता है।
• घटाव के लिए : किन्हीं भी तीन परिमेय संख्याओं A, B और C के लिए, घटाव का साहचर्य नियम इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: (A - B) - C ≠ A - (B - C)। उदाहरण के लिए, (1/3 - 1/4) - 1/2 ≠ 1/3 - (1/4 - 1/2)। हम देख सकते हैं कि परिमेय संख्याओं के लिए घटाव साहचर्य नियम के अंतर्गत नहीं आता है।
• गुणन के लिए : किन्हीं भी तीन परिमेय संख्याओं के लिए, गुणन का साहचर्य नियम A, B और C के रूप में व्यक्त किया जाता है, (A × B) × C = A × (B × C)। उदाहरण के लिए, (1/3 × 1/4) × 1/2 = 1/4 × (1/3 × 1/2) = 1/24 = 1/24। हम देख सकते हैं कि परिमेय संख्याओं के लिए गुणन साहचर्य नियम का पालन करता है।
• भाग के लिए : किन्हीं भी तीन परिमेय संख्याओं A, B और C के लिए साहचर्य नियम इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: (A ÷ B) ÷ C ≠ A ÷ (B ÷ C)। उदाहरण के लिए, (1/3 ÷ 1/4) ÷ 1/2 ≠ 1/4 ÷ (1/3 ÷ 1/2) क्योंकि 8/3 ≠ 3/8। हम देख सकते हैं कि दोनों पक्षों के व्यंजक बराबर नहीं हैं। अतः परिमेय संख्याओं के लिए भाग साहचर्य नियम के अंतर्गत नहीं आता है।

परिमेय संख्याओं का वितरण गुणधर्म यह बताता है कि यदि तीन परिमेय संख्याओं A, B और C वाले किसी व्यंजक को A(B + C) के रूप में दिया जाए, तो उसे A × (B + C) = AB + AC के रूप में हल किया जा सकता है। यह घटाव पर भी लागू होता है, जिसका अर्थ है A(B - C) = AB - AC। इसका अर्थ है कि क्रियापद A अन्य दो क्रियापदों, अर्थात् B और C के बीच वितरित होता है। इस गुणधर्म को जोड़ या घटाव पर गुणन का वितरण गुणधर्म भी कहा जाता है। आइए जानें कि परिमेय संख्याओं का वितरण गुणधर्म कैसे कार्य करता है। हम नीचे दिए गए उदाहरण की सहायता से इस गुणधर्म को समझेंगे।

उदाहरण: 1/2(1/6 + 1/5) को हल करें

हल:
दिया गया व्यंजक A (B + C) = A × (B + C) = AB + AC 1/2(1/6 + 1/5) = (1/2 × 1/6) + (1/2 × 1/5) = 11/60 के रूप में है ।

आइए, इसी व्यंजक को घटाव विधि से हल करें।

उदाहरण: 1/2(1/6 - 1/5) को हल करें।

हल:
दिया गया व्यंजक A (B - C) = A × (B - C) = AB - AC 1/2(1/6 - 1/5) = (1/2 × 1/6) - (1/2 × 1/5) = -1/60 के रूप में है।

परिमेय संख्याओं के दो मूलभूत योगात्मक गुणधर्म हैं: योगात्मक तत्समक गुणधर्म और योगात्मक प्रतिलोम गुणधर्म। किसी भी परिमेय संख्या a/b के लिए, जहाँ b ≠ 0, इन दोनों गुणधर्मों को नीचे दर्शाया गया है।

आइए उदाहरणों की सहायता से योज्य तत्समक गुणधर्म और योज्य प्रतिलोम गुणधर्म को समझते हैं।

योगात्मक पहचान गुण

परिमेय संख्याओं का योज्य तत्समक गुण यह बताता है कि किसी भी परिमेय संख्या (a/b) और शून्य का योग वह परिमेय संख्या स्वयं होती है। मान लीजिए a/b कोई परिमेय संख्या है, तो a/b + 0 = 0 + a/b = a/b। यहाँ, शून्य परिमेय संख्याओं का योज्य तत्समक है। आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं:

3/7 + 0 = 0 + 3/7 = 3/7

योगात्मक व्युत्क्रम गुणधर्म

परिमेय संख्याओं के योज्य प्रतिलोम गुणधर्म के अनुसार, यदि a/b एक परिमेय संख्या है, तो एक परिमेय संख्या (-a/b) इस प्रकार विद्यमान होती है कि a/b + (-a/b) = (-a/b) + a/b = 0।

उदाहरण के लिए, 3/7 का योज्य प्रतिलोम (-3/7) है।

(3/7) + (-3/7) = (-3/7) + 3/7 = 0.

परिमेय संख्याओं के दो मूलभूत गुणात्मक गुणधर्म हैं: गुणात्मक तत्समक गुणधर्म और गुणात्मक व्युत्क्रम गुणधर्म। आइए इन गुणधर्मों को उदाहरणों के साथ समझते हैं।

गुणात्मक पहचान गुण

परिमेय संख्याओं का योज्य तत्समक गुण यह बताता है कि किसी भी परिमेय संख्या और 1 का गुणनफल वही परिमेय संख्या होती है। यहाँ, 1 परिमेय संख्याओं का गुणात्मक तत्समक है। यदि a/b कोई परिमेय संख्या है, तो a/b × 1 = 1 × a/b = a/b। उदाहरण के लिए: 5/3 × 1 = 1 × 5/3 = 5/3।

गुणात्मक व्युत्क्रम गुणधर्म

परिमेय संख्याओं के गुणात्मक प्रतिलोम का नियम यह बताता है कि प्रत्येक परिमेय संख्या a/b, जहाँ b ≠ 0 है, के लिए एक परिमेय संख्या b/a इस प्रकार मौजूद होती है कि a/b × b/a = 1। इस स्थिति में, एक परिमेय संख्या b/a, एक परिमेय संख्या a/b की गुणात्मक प्रतिलोम होती है। उदाहरण के लिए, 7/3 की गुणात्मक प्रतिलोम 3/7 है (7/3 × 3/7 = 1)।

ध्यान दें: प्रत्येक परिमेय संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है। यदि a/b कोई परिमेय संख्या है, तो a/b × 0 = 0 × a/b = 0। उदाहरण के लिए, 7/2 × 0 = 0 × 7/2 = 0।